Το θεώρημα Bolyai–Gerwien

Το θεώρημα των Bolyai-Gerwien λέει το εξής:

Για κάθε δύο πολύγωνα με το ίδιο εμβαδόν μπορούμε να κόψουμε το ένα σε πεπερασμένο αριθμό πολυγώνων και να τα επανατοποθετήσουμε με τέτοιο τρόπο ώστε να φτιάξουμε το δεύτερο πολύγωνο. (Τα κομμάτια επιτρέπεται να μεταφερθούν και να περιστραφούν.)

Ο Bolyai σε αυτό το θεώρημα είναι ο Farkas Bolyai, ο πατέρας του γνωστού για την δουλειά του στην μη Ευκλείδια γεωμετρία János Bolyai.

Διαβάστε περισσότερα. (Αφού πρώτα προσπαθήσετε να το αποδείξετε μόνοι σας!)

Posted in 51M20 - Polyhedra and polytopes; regular figures, division of spaces, 51M25 - Length, area and volume | Tagged | Σχολιάστε

Το θεώρημα του γάμου (ΙΙ)

Ας δούμε και μερικές εφαρμογές του θεωρήματος του γάμου.

Διαβάστε περισσότερα …

Posted in 05B15 - Orthogonal arrays, Latin squares, Room squares, 05C70 - Factorization, matching, partitioning, covering and packing, 20F99 - None of the above, but in this section, 91A24 - Positional games, 91A46 - Combinatorial games | Tagged | Σχολιάστε

Το θεώρημα του γάμου

Έχουμε μια ομάδα αγοριών τα οποία θέλουμε να τα παντρέψουμε με κάποια κορίτσια. Αυτό θα γίνει με τον εξής τρόπο: Κάθε αγόρι ετοιμάζει μια λίστα με όλα τα κορίτσια τα οποία θα δεχόταν να παντρευτεί. Σκοπός μας είναι να καταφέρουμε να παντρέψουμε κάθε αγόρι με κάποιο κορίτσι από την λίστα του. Κάτω από ποιες συνθήκες μπορούμε να το πετύχουμε αυτό; (Το πρόβλημα αφορά μια ανδροκρατούμενη κοινωνία όπου τα κορίτσια δεν έχουν λόγο. Όσες θέλουν μπορούν να σκεφτούν το αντίστοιχο πρόβλημα μιας γυναικοκρατούμενης κοινωνίας.)

Διαβάστε περισσότερα …

Posted in 05C70 - Factorization, matching, partitioning, covering and packing | Tagged | 3 Σχόλια

Το θεώρημα της κάλπης

Πλησιάζουν εκλογές στην Ελλάδα. Ας ασχοληθούμε λοιπόν με ένα σχετικό μαθηματικό θεώρημα. Σε μια εκλογική διαδικασία υπάρχουν δύο υποψήφιοι και n ψηφοφόροι. Έστω ότι ο υποψήφιος A έλαβε a ψήφους και ο υποψήφιος B έλαβε b ψήφους, όπου a > b. Ποια είναι η πιθανότητα ο υποψήφιος A να προηγείτο καθ’ όλη την διάρκεια της εκλογικής διαδικασίας; Το θεώρημα της κάλπης μας λέει ότι η πιθανότητα ισούται με \displaystyle \frac{a-b}{n}. Θα δώσω δυο αποδείξεις του θεωρήματος. Προτού όμως δώσω τις αποδείξεις ας δούμε ένα παράδειγμα για να σιγουρευτούμε ότι καταλάβαμε τι λέει το θεώρημα.

Διαβάστε περισσότερα …

Posted in 05A15 - Exact enumeration problems, generating functions, 91B12 - Voting theory | Σχολιάστε