Το θεώρημα Bolyai–Gerwien

Το θεώρημα των Bolyai-Gerwien λέει το εξής:

Για κάθε δύο πολύγωνα με το ίδιο εμβαδόν μπορούμε να κόψουμε το ένα σε πεπερασμένο αριθμό πολυγώνων και να τα επανατοποθετήσουμε με τέτοιο τρόπο ώστε να φτιάξουμε το δεύτερο πολύγωνο. (Τα κομμάτια επιτρέπεται να μεταφερθούν και να περιστραφούν.)

Ο Bolyai σε αυτό το θεώρημα είναι ο Farkas Bolyai, ο πατέρας του γνωστού για την δουλειά του στην μη Ευκλείδια γεωμετρία János Bolyai.

Ας δούμε μια απόδειξη:

Παρατήρηση 1: Μπορούμε να υποθέσουμε ότι το ένα πολύγωνο είναι τετράγωνο. Πράγματι αν P_1 και P_2 είναι πολύγωνα που έχουν το ίδιο εμβαδόν τότε κόβουμε σε κομμάτια το P_1, φτιάχνουμε ένα τετράγωνο με το ίδιο εμβαδόν και μετά κόβουμε το τετράγωνο σε νέα κομμάτια και φτιάχνουμε το P_2.

Παρατήρηση 2: Κάθε φορά που κόβουμε ένα πολύγωνο μεταξύ δυο κορυφών οι οποίες δεν ενώνονται με πλευρά του πολυγώνου, παίρνουμε δυο πολύγωνα με μικρότερο αριθμό κορυφών από το αρχικό. Άρα μετα από πεπερασμένο αριθμό κοψιμάτων θα έχουμε μόνο τρίγωνα.

Παρατήρηση 3: Μπορούμε να κόψουμε τα τρίγωνα και να φτιάξουμε ορθογώνια με το ίδιο εμβαδόν. (Πώς;)

Λήμμα 4: Μπορούμε να κόψουμε ένα ορθογώνιο σε κομμάτια ώστε να φτιάξουμε ένα τετράγωνο με το ίδιο εμβαδόν. Αρχικά, μπορούμε να μετατρέψουμε εύκολα ένα ορθογώνιο με μήκη πλευρών a και b σε ένα μη μήκη 2a και b/2. Μπορούμε λοιπόν να υποθέσουμε ότι στο πιο κάτω ορθογώνιο ισχύει 2|AB| \leqslant |B \Gamma| \leqslant 4|AB|. Βάζω το πιο κάτω σχήμα χωρίς επιπλέον λόγια και σας αφήνω να βρείτε γιατί δουλεύει.

Λήμμα 5: Μπορούμε να κόψουμε δυο τετράγωνα σε κομμάτια ώστε να φτιάξουμε ένα τετράγωνο με εμβαδόν ίσο με το άθροισμα των εμβαδών των δυο τετραγώνων. Αν τα τετράγωνα έχουν μήκη πλευρών a και b αντίστοιχα θέλουμε να φτιάξουμε ένα τετράγωνο με μήκος c, όπου a^2 + b^2 = c^2. Μήπως αυτό θυμίζει κάτι; Δείτε το πιο κάτω σχήμα.

Βάζοντας όλα τα πιο πάνω μαζί τελειώσαμε. Από την παρατήρηση 1 υποθέσαμε πως το ένα πολύγωνο είναι τετράγωνο. Από την παρατήρηση 2 κόψαμε το πολύγωνο σε τρίγωνα τα οποία από την παρατήρηση 3 τα μετατρέψαμε σε ορθογώνια και από το λήμμα 4 σε τετράγωνα. Τέλος από το λήμμα 5 κάθε δυο τετράγωνα μπορούμε να τα κόψουμε για να φτιάξουμε ένα μεγαλύτερο και κάνοντας αυτήν την διαδικασία πεπερασμένες φορές καταλήγουμε σε ένα τετράγωνο. \square

Πριν κλείσω, βάζω ένα ερώτημα με το οποίο θα ασχοληθώ σε μελλοντικό άρθρο. Τι συμβαίνει σε μεγαλύτερες διαστάσεις; Μπορούμε να έχουμε κάποιο ανάλογο θεώρημα; Για την ιστορία και την απάντηση αυτού του ερωτήματος κάντε λίγη υπομονή μέχρι το επόμενο άρθρο.

Advertisements

About Δημήτρης Χριστοφίδης

Course Leader in Mathematics at UCLan Cyprus.
This entry was posted in 51M20 - Polyhedra and polytopes; regular figures, division of spaces, 51M25 - Length, area and volume and tagged . Bookmark the permalink.

Σχολιάστε

Εισάγετε τα παρακάτω στοιχεία ή επιλέξτε ένα εικονίδιο για να συνδεθείτε:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s